Глагол идти, имевший прежде параллельное написание и через -дт-, как теперь, и через -тт-, относится к числу наиболее древних слов в лексическом фонде не только славянских, но и других индоевропейских языков. Лексика такого рода, как правило, обладает весьма характерным признаком - супплетивизмом корней. Термин супплетивизм (переводится с французского как "добавочный") буквально означает, что различные формы таких слов образуются от разных основ. Ярким примером является, скажем, глагол быть с его формами есть, был, будешь (в русском языке); to be - am, are, is и т.д. (в английском языке).
То же самое касается и глагола идти. Действительно, от разных основ образуются различные формы настоящего, прошедшего и будущего времени, а также инфинитива и причастий этого глагола и родственных ему: ид-у, по-йд-ет, по-шё-л, ш-ли, по-й-ти, шед-ший.
В старославянском и в древнерусском языке инфинитив этого глагола звучал как и-ти. При этом -и- - это корень глагола, а -ти - это суффикс инфинитива (неопределенной формы). Основа настоящего времени глагола и-ти содержала дополнительный согласный - так называемый "инфикс" -д-. Сравните современные формы и-ду, ид-ёшь, ид-ёт и т.п.
От глагола идти образованы многочисленные приставочные глаголы типа войти, найти, пойти, сойти, прийти, уйти, подойти и т.п. Во всех этих словах начальное "коренное" и - переходит в -й-. При этом вместо написания -дт- сохраняется старое написание с одним т.
В формах будущего простого времени глагола прийти (при написании которого не допускается больше использование старого параллельного варианта придти) звук и выпадает. Сравните: я приду (а не прийду), ты придешь, он придет и т.д. - при форме инфинитива прийти.
Наконец, еще одна орфографическая особенность глагола идти. Наряду с формой шляпа ему не идет (где не пишется отдельно) допускается употребление несколько архаичной отрицательной формы: на ум нейдет (где не пишется слитно).
Таковы особенности образования и написания глаголов идти и прийти, связанные с историей этих слов и их форм в русском языке.